高斯分布的重要性

统计检验可以分析一组特定数据，以得出更普遍的结论。有多种方法可以做到这一点，最常见的是基于“群体中数据有特定分布”的假设。目前，最常用的分布是【钟形高斯分布（又称“正态分布”）】。该假设是许多统计检验（例如，t检验和方差分析，以及线性和非线性回归）的基础。

在阅读其他关于高斯分布（又名“正态分布”）的书籍时，有两个统计术语可能会让人觉得困惑：

• 在统计学中，“正态”一词是钟形高斯分布的另一名称。但在其他情况下，“正态”一词有很多含义（比如，“无疾病”或“常见”）。

• 在统计学中，通常将线或曲线周围的点的散点称为“误差”。“误差”一词仅指偏离平均值。通常将这种偏离视为由于生物变异性或实验不精确所导致，而非错误。

高斯分布的起源

当许多独立随机因素以相加方式产生变异时，会出现高斯分布。这里举一个例子来帮助大家更好地理解：

想象一个非常简单的“实验”。你使用移液器，取一些水并称重。移液器理论上每次可以吸取10微升的水，但实际情况是每次吸取9.5到10.5微升的水。如果吸取一千次，并创建一个结果的“频率分布直方图”，将如下图所示：

平均重量为10毫克，相当于10微升水的重量（至少在地球上如此）。分布平坦，无高斯分布迹象。

那么，我们让实验变得更复杂。使用移液管吸取两次，然后称量结果。现在得到的平均重量是20毫克。但你可能会希望这些“误差”在某个时候可以消失。结果可如下图所示：

每次移液都会产生一个平坦的随机误差。将它们相加后，分布变得不平坦。例如，仅当两次移液基本上朝同一方向出错时，才能获得接近21毫克的重量，这种情况很少见。

现在让我们将该实验增加到十次移液，观察下总数的分布情况：

↑这个分布看起来很像理想中的【高斯分布】。重复实验15,000次，会更接近高斯分布。

该模拟演示了一个可以通过数学方法证明的原理。如果你的实验散点有许多来源是相加的和几乎相等的权重，且样本量很大，那么散点会接近高斯分布。

高斯分布是一种相对理想的数学分布。很少有生物分布（若真存在）真正服从高斯分布。高斯分布从负无穷大扩展到正无穷大。如果以上示例中的权重真的服从高斯分布，则权重可能为负值（但可能性极低）。由于权重可能是负值，分布不能完全服从高斯分布。但它非常接近高斯分布，因此可以使用假设高斯分布的统计方法（例如，t检验和回归）。

统计学的中心极限定理

高斯分布在统计学中起着核心作用，因为它包含一种称为“中心极限定理(Central Limit Theorem)”的数学关系。如需理解该定理，遵循该理想试验：

1. 创建一个已知分布群体（不必为高斯分布）。

2. 从群体中随机挑选许多相同大小的样本。将这些样本平均值制成表格。

3. 绘制平均值频率分布的直方图。

中心极限定理表明：

如果想深入了解理想高斯分布为何如此有用，建议找一些统计学教材学习一下中心极限定理。